2017年6月2日下午，“北大文研讲座”第三十九期“听音识数，赏乐辨形”在静园二院208会议室举行。北京大学副校长、数学科学学院教授王杰担任主讲人，北京大学前沿交叉研究院执行院长汤超主持讲座，北京大学常务副校长吴志攀、文研院院长邓小南出席活动。本次讲座是“科技与人文”主题系列活动的第二场。

讲座的主题围绕音乐与数学的关系展开。在进入主题之前，王教授首先介绍了音乐教育在北大的传统。今年正值蔡元培正式出任北大校长100周年，蔡校长在职期间重视音乐教育，当时在北大也产生了一系列音乐团体、活动和杂志。他还在萧友梅的提议下成立北京大学音乐传习所，人民音乐家之一冼星海就曾在1926年进入北大音乐传习所学习。1936年蔡元培在参加社会活动家、音乐家、少年中国学会创始人之一王光祈先生的追悼会时，也明确提出中国人最看重音乐，古代的六艺中除了乐还有数，音乐与数学自古的联系可见一斑。

王教授指出，在不同的历史阶段，不同的人从不同的角度都能够看到音乐与数学的关系。他通过举例电影《2001太空漫游》的片头配乐，即理查Ÿ施特劳斯的《查拉图斯特拉如是说》中，小号演奏的和谐的五度音程和四度音程，引入了频率比例与音乐的关系。关于这种关系的思考可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯，他认为音乐是数学的应用，因为音乐中体现的宇宙的和谐的基础是数的比例，例如纯五度的频率比例是3:2，纯四度是4:3。普罗克洛斯也指出数量与阶（即数的比例）是音乐的重要组成要素。西方历史中也不断有人指出音乐与数学的联系，如莱布尼茨在信件中对哥德巴赫表示“音乐中的快乐愉悦来自无意识的算数”；西尔维斯特指出“音乐是感觉的数学，数学是推理的音乐”；德彪西表示“音乐是声音的算数，像光学是光线的几何”等。

与西方相对应，中国古代也对音乐与数学的关系有类似的思考。例如河南省舞阳县贾湖新石器时代遗址墓葬群出土的骨笛，它们大多为7孔，孔边有相应的划痕记号，可见笛孔的位置是经由精心规划的。另外，《史记》也记载了确定音律的“三分损益法”。

接着王教授讲解了乐音体系的确定方法。乐音体系是演奏中所使用的、具有固定音高的所有音的集合，集合中的每一个元素称为音级。律学的基本问题是如何确定各个音级，包括确定绝对音高和相对音高。通过比例确定音高的方法在中国与西方都有记载。在中国，管仲提出了三分损益法，将宫音的弦长定为81，交替乘4/3和2/3，可以得到徵、商、羽、角，组成了五声音阶。七声音阶则是在五声音阶的基础上加上变徵与变宫。而在西方，毕达哥拉斯提出了五度相生法，即从基音开始不断乘3/2再除2，得到一个八度之内的七个音。但是对于这种律，三度和六度音程并不和谐，并且通过这种方法最后不能准确回到基音，而与基音有一个毕达哥拉斯音差，它在中国也称为“旋宫不归”。

王教授指出，音乐虽然与数学息息相关，但不等于数学，在每个发展阶段中的音乐都只在不同的程度上符合数学。例如，格里高利圣咏中不需要精确的三度音程，因此四度和五度音程较为和谐的五度相生法就足够了。而文艺复兴起人们认为只有四度和五度的音乐不够丰富，开始重视三度和六度音程，这就促进人们改进三度和六度音程，产生了纯律，通过5/4的比例确定了三度音程的频率，并由此产生了大三和弦。纯律比五度相生律更加悦耳，但缺点在于D-A音程不和谐，并且有两种不同的大二度。巴洛克时期产生了转调的需要，需要统一大二度，但通过数学证明可以得到，只用有理数是无法满足调律的需求的，因此通过等比数列将一个八度内的音级均分，对八度的2倍弦长开12次根，得到了十二平均律。王教授举例了巴赫在致腓特烈二世的《音乐的奉献》中一首“经由种种调性的卡农”，其中巴赫写道，“随着转调的升高，国王的荣耀也在升高”。相对应地，在中国，朱载堉在《律吕精义》中提出了与十二平均律相同的新法密律，并最先用珠算方法精确计算出平均律。而西方粗略的计算几十年后才出现在梅森的《和声学通论》中。亥姆霍兹和李约瑟都对朱载堉的贡献做出了肯定的评价。

接着王教授讲到了音乐中的对称。第一种对称是移调，即单纯降低度数。由于平均律中有12个音级类，因此移调变换也就有12种。第二种对称是逆行，即对前面旋律从尾到头的反向重复。王教授举例了巴赫的《音乐的奉献》的一个片段，并用精美的动画呈现了两个声部以莫比乌斯带的结构连接和逆行，组成和谐丰富的旋律。第三种对称是倒影，即以某个水平线为基准，一段旋律上下颠倒。他举例了苏萨《雷神》中的片段。这三种变换的组合可以生成一个48阶群的代数结构。

传统的调性音乐总有一个主音，其他音从属于主音，而20世纪则产生了对这种调性音乐的背离。例如勋伯格的十二音技术就打破传统调性音乐对作曲家自由发挥的桎梏。它首先有一列每个音级各出现一次的初始音列，随后对其分别作上述的48个变换，就没有了回到主音的稳定感，能够持续保持张力，但同时也失去了传统调性音乐的和谐感。面对随之而来的诸多批评和质疑，勋伯格回应：“人们指责我是数学家，我不是数学家，我是几何学家。”可见数学给音乐带来的可能性受到了勋伯格的重视。

最后，王教授介绍了音乐与计算机的关系。一种新的作曲方式借鉴了随机过程中马尔可夫链及概率转移矩阵，通过设定矩阵的各项参数，使计算机根据初始音的序列自动生成新的旋律。在矩阵的设定方面，一种方法是直接总体把握矩阵的各项参数；另一种则类似大数据的操作，以Brooks等人的实验为例，他们选取一系列赞美诗的旋律，纵向建立4个八度的乐音体系，横向分成若干个八分音符的单位，统计各个音级后续音级出现的概率，得到一种能模仿生成赞美歌旋律结构的矩阵。另外的尝试还有π之歌，其中钢琴的右手按照π值演奏，左手按a小调分解和弦，虽然旋律可以无限演进，但由于左手的分解和弦，听起来依旧较为传统。在最后的提问环节中，王教授总结了音乐与数学的关系。音乐在不同的时期以不同的程度使用着数学，同时，数学不仅提供了分析和理解过去音乐的一种方法，也为音乐提供着新的可能性。