2023年10月30日晚，由文研院主办、兴证全球基金支持的“未名学者讲座”第105期在北京大学静园二院208会议室举行，主题为“战国秦汉度量衡的进制原理及其统一”。故宫博物院器物部金石组副研究馆员熊长云主讲，北京大学中古史研究中心长聘副教授陈侃理主持，北京大学中文系人文讲席教授李零、中国科学院自然科学史研究所研究员苏荣誉评议。
讲座伊始，熊长云老师先对度量衡与进制的基本概念进行了诠释。度量衡三者，度指长短，量指容量，衡指重量（质量）。进制则是指度量衡单位之间的进位关系。对于中国度量衡发展史而言，战国秦汉是至关重要的时代。在这一时期，各国度量衡制度纷繁复杂，后为秦国所统一，并逐渐形成了大一统国家度量衡制度的基本面貌，后经王莽改制，奠定了此后中国历代度量衡的基本制度框架。这一时期度量衡制度是如何发展与演变的，一直是学术讨论的热点。
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度量衡三者示意图
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秦始皇诏版陈介祺拓本
拓藏北京大学图书馆，原物藏中国国家博物馆
熊长云老师首先谈到，以往讨论古代度量衡进制时，最受关注的是十进制问题。其中，李约瑟（Joseph Needham）先生曾据商代骨尺认为，中国的长度测量系统从商代开始便按照十进制予以进位，故讨论中国十进制，须讨论度量衡的发展史。钱宝琮先生曾对比中西度量衡差异，指出中国自秦汉以来，长度与容量单位体系便基本采用十进制，而衡制单位体系也存在十进制的演化趋势。相比之下，直到十八世纪末，法国议会始有十进制度量衡单位的规定，到二十世纪方成为世界普遍使用的制度。钱先生因而将中国古代度量衡的十进制视为“中国的世界第一”。这都凸显中国古代度量衡对于数学史研究的重要性。
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商代牙尺，长15.8厘米，上海博物馆藏。
尺面分为十寸，每寸分为十分，反映商代尺度已采用十进制
不过，众所周知，斤两长期采用十六进制，这一进制可以上溯至战国时代。又如《汉书·律历志》与出土秦汉史料所反映的秦汉重量单位进制，还包含四、三十、二十四等不同进制，不仅无一采用十进制，还呈现一种非整齐的进制序列面貌。此外，战国时代各国度量衡的进制，同样出现了二、三、四、六、十二、二十、二十四进制等不同进制。这类非十进制在早期设定十分普遍，其设定原理究竟为何，便成为一个值得思考的问题。
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秦铁权，1983年甘肃省天水市秦城区出土，甘肃省博物馆藏，重31643克。秦制，1石=4钧=120斤。
一、早期度量衡单位的正态分布现象
熊长云老师以秦国度量衡制度为切入点，指出秦的重量单位体系实际呈现出一种非整齐进制序列面貌。不过，若增补睡虎地秦简与北大藏秦简所反映的“锱”“锤”“半两”“半石”等单位，由此便可将重量单位划分为大中小单位系统。而在大中小系统内部，其单位实际构成严密的进制阶梯。与之类似的是，秦的容量单位体系也存在类似的进制面貌，如升斗系统内部，也出现了半斗、参、驷、六等单位，系统内部井然有序。
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秦量制升斗单位系统所见进制阶梯
熊长云：《秦汉度量衡研究》，北京大学2017年博士学位论文
这也即意味着，进制设置看似复杂，但并非杂乱无章，仍呈现出一定规律。同时，如果不局限于对具体进制的考察，而将之放到宏观层面，还会发现进制存在疏密不同的情况。这便为理解古代度量衡体系的基本框架，以及进制、单位的形成及其基本设定原理找到了切入点。
熊长云老师指出，根据已有研究，战国时代许多国家的度量衡单位体系，实际呈现出中间密、两头疏的分布形态，即中等大小的单位数量丰富，而大小两头的单位较少。这一现象背后的基本原理是，单位疏密分布是趋向正态分布（Normal distribution）的。如果将社会经济生活中人类每一次使用度量衡单位的情况视作一次计量需求。在大量的计量需求出现后，通常会以中等大小的计量需求最多，而大小两头的计量需求较少，计量需求因此以趋于正态分布的形式呈现。
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齐国子禾子铜釜，1857年山东胶县灵山卫出土
中国国家博物馆藏，容20460毫升
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刘家铜量，1992年临淄永流乡刘家庄出土，大量容1025毫升，小量容205毫升，分别为田齐新量的豆与升，1豆=5升
与此同时，不仅单位数量趋向正态分布，进制数值也与之相关，而呈现中间密、两头疏的面貌。比如，春秋齐国量制体系的主体架构是4进制，但釜之上的钟，其进制放大为10。又如战国秦到西汉的量制单位，1斗=2半=3参=4驷=6六=10升，进制都较小，而到了升以下单位，常见1升为20籥的记录方式，其进制放大至20。又如重量单位中，斤、两、铢进制分别为16、24，越小的单位进制反而越大。此外，秦汉长度单位中分、寸、尺、丈、引都是十进制单位，但再往上的大单位为里，1里为300步，进制数值陡然增加。总结以上情况，即中等单位分布趋于繁密，进制较小；大小单位分布趋于疏远，进制较大。
相比于中等单位较小的进制，大、小单位的进制放大有着不同的数学意义。对于大单位而言，进制放大之后，便可以扩大单位的量程——这本身又是大单位存在的意义，即表示更大的常用量。对于小单位而言，则可以通过增加进制数字，来提高计量表示的精度——而这本身又是小单位存在的意义，即表示更小的常用量。
由此得出的推论是，单位进制数值的设定与计量频次有关，计量频次高的单位，可以设定较密，因此进制较小，计量频次低的单位，可以设定较疏，因此进制较大。概言之，单位设定的疏密与计量需求的频次呈现正相关性，进制数值同样受此影响。
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海昏侯墓出土漆木笥用漆记录，
升下直接用籥，升籥为二十进制
熊长云老师认为，度量衡单位所呈现的中间密两头疏的形态，与正态分布的特点趋近，这是人类在长期生产生活及社会经济活动中所自然形成的。在单位进制设立的初期，进制由人为设定，往往具有一定的主观性，但随着计量频次的增加，单位系统逐渐受到使用习惯的影响。对于频繁使用的单位量区间，通过缩小进制，设定较密的单位组合，由此增加量的阶梯，从而满足较高频次的计量需求；对使用相对较少的大小单位量区间，则适当减少单位数量，以应对较低频次的计量需求。正因为使用频次高低有别，早期度量衡单位呈现出疏密不同的非匀定特点。
早期度量衡单位疏密存在正态分布的现象，还有助解释常见单位的形成原理。正态分布曲线中，最接近曲线峰值又即均数的单位，通常即是常用单位。就日常生产生活而言，这样的单位未必只有一个，还可以是两个或多个。如秦国而言，即是升、斗，可满足日常生活中最为频繁的计量需求。同时，战国时期各国度量衡单位制度不同，但由于社会交往频繁而导致生产、生活方式的趋近，计量需求的正态分布曲线具有趋近的一面，故均数也落在趋近范围之内。这一情况，也使得不同国别的某些常用单位即使名称、进制均不相同，但具体量值却是大体接近的。
二、十进制与非十进制的设定原理
在这一基础上，熊长云老师讨论了十进制与非十进制的设定原理。
1.十进制的设定
商代以来，中国便采用十进制计数法。以十进制建立度量衡单位的进制架构，利于十进制计算。数学史学者均指出，商代以来，中国便持续采用十进制计数法。在此背景下，度量衡单位使用十进制，自然利于计算。若略作梳理，属于十进制的战国秦汉度量衡的主要单位体系如下：
战国秦至秦汉使用的长度单位体系：分-寸-尺-丈
战国秦至秦汉的容量单位体系：升-斗-石（斛）
齐国的容量单位体系：升-半-釜-钟
这类单位跨度范围大，通常包含大中小单位，因涉及大量计算，故适合与计数法相配的方式建立进制架构。这类度量衡体系因而多采用十进制设定。
2.非十进制的设定
这一类进制的设定，有利于整数分割，更便于实际应用。这类进制的数值主要包括两类，即较小自然数和高合成数。其中，较小自然数包括2、3、4等，通常是对单位阶梯的进一步繁化，而往往是对较高计量频次的适应。另一类则是高合成数。其数值大于10，代表如12、24等。相关进制则有利于分数计算，典型之例如12，其因子为2、3、4、6，可以适用于不同分数分割而没有除不尽的问题。战国秦汉度量衡所见较大进制数值，包括12、16、24、36、120等，大部分属于此类高合成数。
3.计量器具对进制设定的影响
计量器物同样影响了进制的设定。其中，长度测量最为简单，测量工具设计为尺状即可满足需求，而长度单位可以以十进制、八进制、四进制等不同的进制架构设定。由于中国商代即采用十进制计数法，长度单位体系设计为十进制，自然更便于计算，因此成为一种常见的进制。至于容量测量，其计量物品通常具有流动性，比如液体或粮食等，通过十进制计算可以简单便捷算出计量的精确量，因此量器制作虽然相对较为复杂，但也常常见到十进制的单位架构设定。
较为特殊的是重量测量。重量测量可以满足对不可分割性、不规则物品的计量。由于早期重量测量的工具为天平与砝码，使用高合成数的进制，则方便砝码以不同分数组合形式设定，如砝码可以存在二分、三分、四分、六分等不同组合形式，每一个砝码都可以构成整数与单位的数量关系，并实现便捷且精确的加减计算。相比之下，十进制则不便于分割。受到计量对象与计量器具的限制，高合成数的进制自然也就胜过十进制，成为一种具有优势的设定方式。
三、基准制度对于进制演进简化的影响
熊长云老师指出，度量衡要达到准确测量的目的，需要用法制和技术的手段来保证度量衡单位的统一以及量值的准确可靠。与之相关的重要制度，即是基准制度。“基准”即“标准之标准”，是建立度量衡体系所采用的相对准确、稳定且权威的标准。古人曾尝试用多种方式来定义基准，包括黄钟累黍、黄金、水等，这也影响了进制的设定。
1.黄钟累黍
黄钟累黍是中国古代最重要的度量衡基准理论，即古代所谓“律度量衡”的“律”。
《汉书·律历志》记载度量衡三者的标准，均由固定音高的黄钟律管推导。其中，长度由黄钟律管的长度推定，以黄钟律管长度为九寸；黄钟律管的内部容量为一龠，容1200粒黍；一龠容量对应的1200粒黍，重量为12铢，两倍为两。
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新莽始建国元年无射律管
上海博物馆藏
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新莽始建国元年铜籥，1970年出土于咸阳布里村
咸阳博物院藏
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新莽铜籥铭文，提到“容如黄钟”
黄钟累黍的基本原理是：由于律管长度与其所发音高相关，一旦管长变化，必然引起音高变化，这是人耳可以感觉到的，这种方法确保了管长的恒定性，这就使得它有资格作为度量衡基准。
黄钟累黍说摒弃了以人体或某一特定人造物为基准的传统，将音律及自然物作为测量基准，将度量衡三者予以统一且相对精确的标准。这虽然具有不精确的一面，但在战国秦汉时代仍然具有超前性，并在世界度量衡史上具有重要意义。
2.黄金
在黄钟累黍之外，黄金也曾用作一种基准。《汉书·食货志》记载了太公九府圜法“黄金方寸，而重一斤”，又《九章算术》记云：“黄金方寸重十六两。”正是用基本长度单位尺寸与黄金定义了“斤”的标准重量。同时，斤两十六进制为人所熟知，但为何设定为十六进制，以往很少得到解释。我们认为，斤的标准由黄金推导，“黄金方寸”对应的重量“斤”与黄钟累黍所定义的“两”的重量相拟合，从而形成了斤两的十六进制。
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《汉书·食货志下》记载“黄金方寸而重一斤”
3.水
《后汉书·礼仪志》中记载“权水轻重，水一升，冬重十三两”，可见汉代即存在用一定体积的水来作为重量标准。秦国也存在用水作为折算介质的情况。岳麓书院藏秦简《数》中，记载了“水十五斗重一石”。这与今天国际单位制中规定以1立方分米纯水为一公斤的定义，其理论基础是相同的。此外，战国部分容量、重量单位的折算，可能也是用水作为介质的。
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《岳麓书院藏秦简》记载“水十五斗重一石”
4.基准对单位进制演进的影响
基准制度也塑造了单位的进制体系。一方面，与基准挂钩的籥、合、两、斤、石成为度量衡体系中的基本单位。另一方面，因为有了相对精确的标准基准，度量衡体系则可以用更稳定的方式建立，也适宜建立宏大、且互可折算的单位进制体系。同时，整体性的架构一旦出现，又反过来促使进制体系朝着更易于计算、简化的方向发展，从而推动度量衡单位体系进一步进行合理化调整，并逐渐趋向于成熟与定型。这一趋势，也深刻影响了秦汉度量衡的统一，并最终影响度量衡进制体系在秦汉时期趋于定型，并深刻塑造了大一统国家的各方面制度形态。
在讲座最后，熊长云老师还探讨了去分数化、双轨制等对于进制演变的影响，并指出：从长期来看，简洁、合理的进制关系会进一步替代复杂、不合理的进制，朝向更方便实用的方向发展，这是与人类对于简洁秩序的追求相符合的。对于度量衡史研究而言，理应对进制的更替现象保持足够的敏感，有助于认识早期度量衡制度可能存在的复杂面貌。
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李零教授向熊长云老师颁发“未名学者”聘书
评议环节
在评议环节，苏荣誉研究员引入了与欧洲、尤其是英制单位对比的视角；同时指出作为出土器物的铭文所标示的设计容量与实际测值存在误差率的问题，也值得考量。李零教授指出，计量标准的制度演变中，既有符合科学的进化选择，也是整合人类知识的过程，因此也是一部思想史。熊长云老师对相关问题进行了回应，认为黄钟累黍作为古代的一种基准制度，虽受制于温差以及音高标准等因素，但在战国秦汉时代仍然是相当超前的，其思想观念更值得重视。同时，古代度量衡器物对于度量衡研究是最为重要的。在研究过程中，既应充分关注器物的具体量值，也应关注器物之间的组合关系，并应结合出土文献与传世文献进行整体考量，从而更好地认识古代度量衡制度。
